趣味數學（三） 溫柔的陷阱

數學裏也有很多陷阱，不小心就會讓你身陷泥沼。下麵的陷阱是我中學時碰到的。

令 A=9，則有 AA-81=0，從而(A-9)(A+9)=0。兩邊同除以 A-9，得 A+9=0，即 18=0。這個陷阱讓我們知道，零不可以做除數不是一句空話。

當然，數學中有些陷阱不是那麽明顯，兩個信封問題就是一例。

問題的敘說很簡單，不帶任何懸念。

有兩封一模一樣的信封，裏麵都裝有錢，其中一封裏是另一封的兩倍。你可以隨便選取一封並拿走裏麵的錢。在你還未打開信以前，我問：你要不要換成另一封信？

決定換還是不換，準則隻能是另一封信裏的錢是否更多。如何知道另一封信裏的錢是否更多？沒法知道。在沒有打開信封之前，不可能知道裏麵有多少錢，那是一個未知數，或者準確一點說，是一個隨機變量。對待隨機變量，我們無法事先知道它的精確值，但有時能算出它的數學期望值。數學期望值，實際上就是我們常用的平均值。如果知道隨機變量的概率分布，就可以算出它的數學期望值。比方說，如果隨機變量X可以取值a和b,其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq，其中p和q分別是X=a和X=b的概率。因為X隻取a和b兩個值，必定有 p+q=1。粗略地說，如果你不知道隨機變量的精確值，往往可以用期望值代用。

換，還是不換？還真是個問題。下麵是一段推理，稱之為推理一。

1：用A表示所選信封裏的錢數。
2：A是小錢的概率是1/2，A是大錢的概率也是1/2。
3：用X表示另一封信裏的錢數，則有p=P(X=2A)=1/2, q=P(X=A/2)=1/2。
4：所以X是一個隨機變量，其數學期望值為E(X)=(1/2)(2A)+(1/2)(A/2)=(5/4)A。
5：因為E(X)>A，換是更合理的選擇。

這段推理，看起來無懈可擊。

但是，如真無懈可擊，那同樣的推理也可用於另一個信封。這樣就隻好不停地交換，直至永遠。

咱們換一個思路，看下麵的推理二。

兩個信封，一個有B元，另一個有2B元。用Y表示所選信封裏的錢數，則Y是一個隨機變量。我們有 P(Y=B)=1/2和P(Y=2B)=1/2。用X表示另一封信裏的錢數，則有 P(X=2B)=1/2和P(X=B)=1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同樣有E(Y)=(3/2)B。按這種推理，交換不帶來任何好處。

比較兩種推理，不難發現，推理一缺陷在於，A是常量，卻既被當做大錢，又被當成小錢。（實際上它是一個變量，不應被當作常量。）同一個東東，不能既是鹿，又是馬呀！

這個陷阱，很溫柔嗎？

兩個信封問題有一個變種也一樣有趣，這就是領帶問題。

情人節過後，兩個男人在酒吧見了麵，每人都打了新領帶。甲說：“很高興見到你，瞧我太太給我買的領帶，又便宜又好。” 乙說：“可不是嗎，我太太給我的領帶更便宜更好。”於是兩人頂上了，都宣稱自己的太太更賢惠能幹。最後他們打起賭來。賭注就是新領帶：誰的貴就把領帶送給便宜的那位。

甲心裏想：“如果我輸了，隻是輸我的領帶，如果盈了，就是盈更貴的領帶，輸和贏的概率都是1/2，因此期望值總是正數。這個賭隻贏不虧。” 於是甲非常高興。

乙也是同樣的想法，自然也眉飛色舞。

兩人都興高采烈打電話向太太問價錢。

為啥兩人都覺得對自己有利？溫柔的陷阱又在何處？

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