趣味數學(三) 溫柔的陷阱

來源: 2013-02-08 12:53:32 [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀:

數學裏也有很多陷阱,不小心就會讓你身陷泥沼。下麵的陷阱是我中學時碰到的。

令 A=9,則有 AA-81=0,從而(A-9)(A+9)=0。兩邊同除以 A-9,得 A+9=0,即 18=0。這個陷阱讓我們知道,零不可以做除數不是一句空話。

當然,數學中有些陷阱不是那麽明顯,兩個信封問題就是一例。

問題的敘說很簡單,不帶任何懸念。

有兩封一模一樣的信封,裏麵都裝有錢,其中一封裏是另一封的兩倍。你可以隨便選取一封並拿走裏麵的錢。在你還未打開信以前,我問:你要不要換成另一封信?

決定換還是不換,準則隻能是另一封信裏的錢是否更多。如何知道另一封信裏的錢是否更多?沒法知道。在沒有打開信封之前,不可能知道裏麵有多少錢,那是一個未知數,或者準確一點說,是一個隨機變量。對待隨機變量,我們無法事先知道它的精確值,但有時能算出它的數學期望值。數學期望值,實際上就是我們常用的平均值。如果知道隨機變量的概率分布,就可以算出它的數學期望值。比方說,如果隨機變量X可以取值a和b,其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq,其中p和q分別是X=a和X=b的概率。因為X隻取a和b兩個值,必定有 p+q=1。粗略地說,如果你不知道隨機變量的精確值,往往可以用期望值代用。

換,還是不換?還真是個問題。下麵是一段推理,稱之為推理一。

1:用A表示所選信封裏的錢數。
2:A是小錢的概率是1/2,A是大錢的概率也是1/2。
3:用X表示另一封信裏的錢數,則有p=P(X=2A)=1/2, q=P(X=A/2)=1/2。
4:所以X是一個隨機變量,其數學期望值為E(X)=(1/2)(2A)+(1/2)(A/2)=(5/4)A。
5:因為E(X)>A,換是更合理的選擇。

這段推理,看起來無懈可擊。

但是,如真無懈可擊,那同樣的推理也可用於另一個信封。這樣就隻好不停地交換,直至永遠。

咱們換一個思路,看下麵的推理二。

兩個信封,一個有B元,另一個有2B元。用Y表示所選信封裏的錢數,則Y是一個隨機變量。我們有 P(Y=B)=1/2和P(Y=2B)=1/2。用X表示另一封信裏的錢數,則有 P(X=2B)=1/2和P(X=B)=1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同樣有E(Y)=(3/2)B。按這種推理,交換不帶來任何好處。

比較兩種推理,不難發現,推理一缺陷在於,A是常量,卻既被當做大錢,又被當成小錢。(實際上它是一個變量,不應被當作常量。)同一個東東,不能既是鹿,又是馬呀!

這個陷阱,很溫柔嗎?

兩個信封問題有一個變種也一樣有趣,這就是領帶問題。

情人節過後,兩個男人在酒吧見了麵,每人都打了新領帶。甲說:“很高興見到你,瞧我太太給我買的領帶,又便宜又好。” 乙說:“可不是嗎,我太太給我的領帶更便宜更好。”於是兩人頂上了,都宣稱自己的太太更賢惠能幹。最後他們打起賭來。賭注就是新領帶:誰的貴就把領帶送給便宜的那位。

甲心裏想:“如果我輸了,隻是輸我的領帶,如果盈了,就是盈更貴的領帶,輸和贏的概率都是1/2,因此期望值總是正數。這個賭隻贏不虧。” 於是甲非常高興。

乙也是同樣的想法,自然也眉飛色舞。

兩人都興高采烈打電話向太太問價錢。

為啥兩人都覺得對自己有利?溫柔的陷阱又在何處?



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