J1轉科研H1的問題急問!!謝謝

先介紹一下本人的情況: 博士後, J1將近1年,剛拿到J1 WAIVER, 老板的funding隻能資助我到6月底, 而DS2019表上的日期7月31日.
最近剛剛得到另一個大學的博士後offer, 正在和他們討論轉簽證問題.本人不想再用J1(否則還要WAIVER),想讓他們申請科研的H1. 現擔心時間是否來得急,請專家和過來人指導:

1)我的J1合法身份是到6月底(工作合同)還是7月底(DS2019表上的時間)?

2)H1的申請應該最遲什麽時候提交(6月底還是7月底前)?

3)聽說J1期滿後還有30天GRACE期,不知在GRACE期再交H1的申請,算不算身份有問題?

在線等, 關係兄弟的終身,請各位幫忙. 拜謝!!