可能你看的懂，

給我一個麵積公式吧~ 在上課的時候麵積問題總是可以引起許多的討論，尤其在國中階段可以用的「招數」不多，但是這絲毫不會影響學生解題的慾望。 我們希望算出在一個在直角座標平麵上的三角形麵積(如圖一)，同學吱吱喳喳的計算著，大部份同學都使出拿手的絕活，將圖形重新作處理----變成一個長方形，然後利用長方形麵積減去四個角落的三角形麵積。 圖一 圖二 △ABC=長方形麵積－綠色△麵積－藍色△麵積－黃色△麵積 ＝6×9－111269274222××−××−×× ＝54-6-9-14 ＝25(平方單位) 除了圖二的處理方式外，有沒有其他的作法呢？有一些學生自然就會發現：其實不一定要補成長方形，變成梯形(如圖三)也可以嘛，所以解決的方式也是類似的，同學就可以很快地算出：△ABC的仍然是25平方單
位。 △ABC=梯形麵積－左△麵積－右△麵積 ＝111(46)92674222+×−××−×× ＝45-6-14 ＝25(平方單位) 圖三 圖四 看著同學的興緻正高昂，俗話說打鐵要趁熱，所以我也就繼續推廣下去嘍，如果圖形是如圖四時，有誰會算出麵積啊？！ 可以想像的大部份國中生一定會大叫：「太難了、不會作⋯」等等，不過等到他靜下心就會發現，圖四的題目和圖三其實是一樣的嘛，隻不過一題是數字，一題用文字表示，硬著頭皮試試看⋯ △ABC=梯形麵積－左△麵積－右△麵積 ＝111()222ADCEDEADBDBECE+×−××−×× ＝121332121211[()()]()()()22yyyyxxyyxx−+−×−−×−×− 31131()(2
) xxyy−×−×−
＝1223312132131[()()]2xyxyxyxyxyxy++−++ * 這個好結論，如果借用類似行列式的寫法的話，那就更漂亮了⋯ △ABC＝1223312132131[()()]2xyxyxyxyxyxy++−++ ＝1231123112xxxxyyyy 其中↘乘為正，↙乘為負 果然是「不禁一番寒澈骨，那得梅花撲鼻香」，太好的結論了，馬上拿題目來試試，如圖五，結果阿偉被嚇出一身冷汗，因為他的答案竟然是「負」的，趕緊舉手發問，這究竟是怎麼回事？ △ABC＝2842143242− ＝161616321242−+−−+ ＝1342− ＝－17 ** 問題出在A、B、C三點的排列順序上，在*式中，A、B、C三點座標是依「逆時針」排列，而在**的計算過程中，阿偉卻將點座標以「順時針」排列，所以答案出現了負數，所以這個公式最好是將座標以逆時針排列，不然的話，切記要加上「絕對值」! 圖五 圖六
得到這麼好的結論，人心不足蛇吞象，可不可以推廣啊？當然可以，我們也可以將它用在求多邊形的麵積喔，隻要把多邊形想像成是很多個三角形組合而成的(如圖六)，此時公式仍然是成立的。 多邊形麵積＝121121....1....2nnxxxyyyy
x
其中↘乘為正，↙乘為負 注意：按逆時針排列不用加絕對值 當我們解決這個問題之後，阿哲心裏飄飄然，似乎像萬能的麥斯一樣，心中充滿所向無敵的神力，隨手畫了一個三角形，隻知道三邊長是8、10、12（如圖七），想而利用剛學會的方麵算出它的麵積，不過，他寫了寫之後停下筆來了，因為，不管是「補成一個矩形」或是「利用座標的方式」兩個方法似乎都作不出來～ 圖七 以前的數學家也和阿哲一樣，曾經被這個題目所困惑，不過有趣的是中外數學家中，各有一位人物在這個問題上留其名，那就是希臘時代的數學家海倫(Heron或譯作海龍)與南宋的數學家秦九韶。 海倫的生卒年代已不好考究，在他的《測地術》一書中出現了這個公式，
海倫公式是否是海倫本人的創見，數學家也各有其看法，不過就像「畢氏定理」是否為畢達哥拉斯本人發明的一樣，都無損於公式本身的炫麗，已知三角形的三邊長分別是a、b、c，則三角形的麵積： △＝()()(ssa*****sc−−− )
其中1()2sabc=++ 這個公式被後人稱之為海倫公式﹝Heron's Formula﹞。 秦九韶，字道古是宋 元黃金時期數學家中的四家之一，「性極機巧，星象、音律、算術以至於營造等事，無不精究」，西元1247年在兵荒馬亂的中編成了數學巨作--「數書九章」，書中共分為九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢穀類、營建類、軍旅類、市易類。每類9個題目，共81道題。 在《數書九章》卷五第二題，秦九韶提出了以下的問題： 問沙田一段，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。 ⋯⋯欲知為田幾何？ 意思就是請讀者求出邊長分別為13里、14里和15里的三角形的麵積，在書中秦九韶稱這道題目為「三斜求積」，因此世人就稱這個求麵積的方法為「三斜求積術」。 已知三角形的三邊長由小到大分別是a、b、c，則三角形的麵積：
△＝2222221()22acbac+−− 那麼來個超級比一比，那個公式比較好用？結論是各有所長，海倫公式較簡潔，但是遇到邊長為二次根式之無理數時，運算上比較複雜，而秦九韶的「三斜求積術」，卻很好處理邊長是無理數的情形。 事實上兩個公式是等價的，讓我們用哈利波特的魔杖一揮，讓海倫公式與「三斜求積術」來個相見歡，簡單說明如下： 【三斜求積術】 △ ＝2222221()22acbac+−− ＝22222244412()()4abbcacabc++−++
觀察上式，其實不用刻意區分邊長的大小，上式都可以算出△的麵積。 【海倫公式】 △＝()()(ssa*****sc−−− ) 其中1()2sabc=++ ＝()()()()()()(2222abcabcabcabcabc++++++++
) −−− ＝()()()()()()()2222abcabcabcabc++−++−++−
＝1()()()(4abcabcabcabc++−++−++−)
＝1[()][()][()][()]4bcabcaabcabc+++−−−+− ＝22221[()][()4bcaabc+−−− ]
＝4442222212224abcabbcac−−−+++ 2
＝22222244412()()4abbcacabc++−++
您瞧，是不是一模一樣，所以真是英雄所見略同呢！ 【參考資料】 數學廣角鏡：談祥伯著，凡異出版社，91年１月：p30-p38 中西數學簡史：黃武雄編，人間文化事業公司，83年7月：p25、27、29