場方程，誰先發現的？愛因斯坦還是希爾伯特？

丘成桐的觀點：

廣義相對論的這個方程，通過一百年的觀察，基本上都是正確的。愛因斯坦跟希爾伯特互相競爭，也互相幫忙。1915年，二人相遇。他們之間的討論激發了兩人的靈感並促成了廣義相對論中愛因斯坦運動方程的誕生（希爾伯特發現了希爾伯特作用量，可以用來簡潔地推導愛因斯坦方程，而愛因斯坦直接創建了這個方程）。數學家希爾伯特甚至比愛因斯坦更早地推導出了這個方程。

今天看趙崢（北京師範大學物理係）寫的愛因斯坦與廣義相對論，介紹場方程的建立過程，感覺比較公正：

愛因斯坦與希爾伯特在1915年底形成了競爭。愛因斯坦關於廣義相對論的論文是11 月25
日完成並投稿的，於12月5 日發表，文中給出了正確的場方程。希爾伯特的有關論文是11 月20日完成並投稿，1916年3 月1 日刊出的。希爾伯特的論文投稿時間比愛因斯坦早5 天，但稿中沒有給出正確的場方程。他在修改清樣期間，看到了愛因斯坦的論文，就在自己的論文中補入了正確的廣義相對論場方程。此外，希爾伯特投稿前曾有一封給愛因斯坦的信，祝賀他算出了水星軌道近日點進動的正確值。
可見，愛因斯坦得到廣義相對論場方程比希爾伯特要早。不過場方程的數學形式十分複雜，如果沒有希爾伯特的幫助和啟發，恐怕愛因斯坦很難在1915年底找到場方程的正確形式，並完成這一理論。
希爾伯特曾在給愛因斯坦的信中談到“我們的理論”， 愛因斯坦對此很不高興，回信說
“這是我的理論，什麽時候成了‘我們的理論’了？……”。 希爾伯特後來也承認，愛因斯坦是廣義相對論的唯一創建人。這個不愉快的小插曲沒有影響兩人後來的友誼。

走向廣義相對論

實際上，廣義相對論的建立是一個漫長的過程。最初，愛因斯坦企圖把萬有引力納入狹義相對論的框架，幾經失敗使他認識到此路不通，反複思考後，他產生了等效原理的思想。
愛因斯坦曾回憶這一思想產生的關鍵時刻：“有一天，突破口突然找到了。當時，我正坐在伯爾尼專利局辦公室裏，腦子忽然閃現了一個念頭，如果一個人正在自由下落，他絕不會感到自己有重量。我吃了一驚，這個簡單的思想實驗給我的印象太深了。它把我引向了引力理論……”。
愛因斯坦1905年開始研究萬有引力，1907年提出等效原理，1911 年得到光線在引力場中彎曲的結論，1913年與格羅斯曼一起把黎曼幾何引進引力研究，1915年與希爾伯特討論，並在當年找到了場方程的正確形式。除了在數學上曾得到希爾伯特和格羅斯曼的有限、然而十分可貴的幫助之外，愛因斯坦幾乎單槍匹馬奮鬥了10年，才把廣義相對論的框架大體建立起來。
1905年發表狹義相對論時，有關的條件已經成熟，洛倫茲、龐加萊等一些人，都已接近狹義相對論的發現。而1915年發表廣義相對論時，愛因斯坦則遠遠超前於那個時代所有的科學家，除他之外，沒有任何人接近廣義相對論的發現。所以愛因斯坦自豪地說：狹義相對論如果我不發現，5 年之內肯定會有人發現；廣義相對論如果我不發現，50年之內也不會有人發現。

盧昌海寫的希爾伯特與廣義相對論場方程文章中，有一些描述：
1915 年 11 月 20 日， 希爾伯特在哥廷根皇家科學院 (Royal Academy of Science in Göttingen) 作了有關引力理論的報告， 介紹了他的研究成果。 那次報告對於探討誰最先提出了廣義相對論場方程是極為重要的。 可惜的是， 也許因為聽眾大都是數學家， 報告的主題卻是物理學， 從而 “言者諄諄， 聽者藐藐” 的緣故， 後世的史學家們未能收集到有關那次報告的第一手資料——比如聽眾的反響或有關報告內容的細節性回憶等。 早期的史學研究所依據的乃是希爾伯特於 1916 年 3 月 31 日發表在《皇家科學與人文學會新聞》(Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften) 上的題為 “物理學基礎” (Die Grundlagen der Physik) 的論文[注二]。 那篇論文明確標注了曾在 1915 年 11 月 20 日的會議上作過報告 (Vorgelegt in der Sitzung vom 20 November 1915)， 從而被視為了有關那次報告的最直接——一度甚至是唯一直接的資料。

早期研究簡述

接下來， 我們簡單提一下在希爾伯特與廣義相對論場方程這一課題上的早期研究。 這一課題在早期雖不曾有過顯著爭論， 但人們的看法起初也並不是完全一致的， 比如洛侖茲就曾認為希爾伯特的工作隻是用變分原理對愛因斯坦的工作做了重新表述而已。 不過這些歧見在 20 世紀 70 年代出現了統一的勢頭。 這勢頭的出現也許首先要歸功於梅拉。 如前所述， 1974 年， 梅拉因受維格納垂詢而對這一課題進行了研究， 並發表了《愛因斯坦、 希爾伯特與引力理論》這一著作。 不過， 梅拉的研究雖緣起於維格納對細節的垂詢， 視野卻比較宏觀， 較少辨析曆史細節， 而更多地著眼於對廣義相對論的曆史， 尤其是對希爾伯特所采用的思想方法及其來龍去脈進行整體闡述上。 在梅拉之後， 1978 年， 科學哲學家厄爾曼 (John Earman, 1942-) 與格裏莫爾 (Clark Glymour) 也涉獵了這一領域， 發表了一篇題為 “愛因斯坦與希爾伯特： 廣義相對論曆史上的兩個月” (Einstein and Hilbert: Two Months in the History of General Relativity) 的文章。 由於當時希爾伯特與愛因斯坦的通信已被公布， 因此厄爾曼與格裏莫爾的文章包含了一些辨析性的內容。 不過， 側重點和風格雖各有所異， 那兩組研究的結論是大體相同的， 那就是基本肯定了希爾伯特先於愛因斯坦得到了廣義相對論場方程。 另外， 那兩組研究也肯定了希爾伯特與愛因斯坦在提出場方程的過程中雖有過交流， 基本工作仍是彼此獨立的。 1982 年， 荷蘭裔美國物理學家派斯 (Abraham Pais, 1918-2000) 在其頗具影響力的愛因斯坦傳記《上帝是微妙的》(Subtle is the Lord) 中也做出了大體相同的判斷， 即： “愛因斯坦是廣義相對論物理理論的唯一提出者， 基本方程式的發現則應同時歸功於他和希爾伯特”。

尾聲

至此， 本文就接近尾聲了。 由希爾伯特論文校樣激起的爭議也許還不能算是塵埃落定， 但倘若沒有新的原始資料被發現， 那麽透過飛揚的塵土我們已可大致窺見結果。 總體來說， 與早期研究相比， 以較高可信度被改變的結論隻有一個， 那就是希爾伯特並未先於愛因斯坦得到廣義相對論場方程。 早期研究中的其它結論， 比如希爾伯特與愛因斯坦在推導廣義相對論場方程這一環節上是彼此獨立的， 則雖有新爭議， 卻不足以推翻早期結論； 而 “愛因斯坦是廣義相對論物理理論的唯一提出者” (派斯語) 則更是無可撼動。

如果考慮到一些人提出的 “給出了廣義相對論的作用量， 就應該算是給出了場方程” 這一並未完全沒有道理的觀點， 對那段曆史中的優先權部分也許可以作這樣一個無爭議的表述： 希爾伯特最先得到了廣義相對論的作用量。 有意思的是， 對這段曆史的研究雖不無波折， 學術界對若幹術語的命名卻似乎早就預見到了結果： 廣義相對論的場方程通常被稱為愛因斯坦場方程 (Einstein field equations)， 而作用量則被稱為愛因斯坦—希爾伯特 (或希爾伯特—愛因斯坦) 作用量 (最先得到作用量的雖是希爾伯特， 愛因斯坦作為整個理論的奠基者， 享有共同 “冠名權” 應該不算過分)。

在本文的最後， 讓我們提一下那段曆史對希爾伯特與愛因斯坦個人關係的影響， 愛因斯坦給倉格爾和貝索的抱怨信可能會讓某些讀者為這兩位大師級人物的關係捏一把汗， 擔心他們之間會出現 李楊之爭 那樣的局麵。 不過幸運的是， 愛因斯坦的抱怨信雖折射出對優先權的敏感， 他的整體人品與智慧終究還是讓他擺脫了優先權之爭的泥潭。 而更值得稱道的則是希爾伯特， 他不僅在諸多場合公開承認廣義相對論是愛因斯坦的理論， 而且還在評選第三屆波爾約獎 (Bolyai Prize) 時推薦了愛因斯坦， 並提名使愛因斯坦當選為了哥廷根數學學會 (Göttingen Mathematical Society) 的通訊會員 (corresponding member)[注十一]。 1915 年 12 月 18 日， 希爾伯特寫信將當選消息告知了愛因斯坦。 兩天後， 愛因斯坦給希爾伯特回了這樣一封信[注十二]：

感謝您友好地告知我當選了通訊會員。 借此機會， 我覺得有必要跟您說一件對我來說比這更重要的事情。 我們之間近來有著某種我不願分析其原因的不良感覺。 我一直在努力抵禦這種感覺帶來的苦澀， 並取得了完全的成功。 我已在心中恢複了與您的往日友誼， 並希望您也這樣待我。 兩個已在一定程度上將自己從這個肮髒世界中解脫出來的真正的研究者若不能彼此欣賞， 那將是一種真正的恥辱。

讓史學界爭議了近一個世紀的話題在那兩位睿智的當事人之間， 就這樣放下了。

他們都放下了， 我們還放不下嗎？ 就讓這封信也成為本文的終結吧。
- 盧昌海 -

胡作玄寫的愛因斯坦與數學，文章中寫道：
廣義相對的核心是引力場方程。1915年11月25日愛因斯坦在柏林發表了他的場方程，而希爾伯特早幾天也推導出來了。但是，兩人之間並沒有什麽“爭”。
希爾伯特一直認為愛因斯坦是相對論的惟一創始人，正因為有了愛因斯坦的問題、理論和方法，才能在這個基礎上得出場方程 。希爾伯特顯然在數學上十分擅長，他是從變分原理得出的。愛因斯坦則是通過另外的方法得出的。在這個問題上，物理的概念仍然是必不可少的基礎。

火星一號企鵝號寫的頂級數學家有多厲害？看看希爾伯特就知道了，文章中寫道：
愛因斯坦當年在研究廣義相對論時，一直沒能找到描述引力的正確方程，這與他本人有限的數學知識儲備有關。但這並不是說愛因斯坦的數學功底不好，隻是廣義相對論需要用到當時很深、很前沿的數學理論，這對於學物理出身的愛因斯坦有些吃力。愛因斯坦找到了希爾伯特，並跟他一起探討了廣義相對論。作為數學家，希爾伯特憑借高超的數學技巧，很快就通過變分原理推導出了引力場方程的正確形式。愛因斯坦在與希爾伯特之前的探討中得到了啟發，他從另一個角度獨立推導出了引力場方程，這要稍遲於希爾伯特。
不過，希爾伯特並沒有跟愛因斯坦爭奪發現引力場方程的優先權。希爾伯特說過這麽一句話——哥廷根的任意一個小孩都比愛因斯坦更懂黎曼幾何，但相對論的發現者隻有愛因斯坦一人，而非其他數學家。
希爾伯特的話非常中肯。誠然，沒有愛因斯坦，就不可能走到推導引力場方程的最後一步。希爾伯特更早得到引力場方程，隻能說明他的數學技巧要高於愛因斯坦。但廣義相對論的引力場方程蘊含著極深的物理思想，隻有愛因斯坦才想到了這些，所以廣義相對論完全屬於愛因斯坦的個人成就。

GC吳歡慶（在文章：希爾伯特和愛因斯坦之間有什麽聯係麽？ 他們誰更牛些？）寫道：

對於愛因斯坦來說，1915年是他學術生涯中又一次罕見的高峰，11月，愛因斯坦連續發表了四篇論文（4日，11日，18日，25日），而最後一篇論文則標誌著廣義相對論理論工作的正式完結。6月底到7月初，愛因斯坦在哥廷根作了短暫的停留（約一周，在那裏他作了一次關於廣義相對論的講演），正是在這裏他結識了希爾伯特，兩個人很快就成為非常要好的朋友，頗有些惺惺相惜的味道。在偉大的11月到來之前（大約從10月底開始），愛因斯坦（為敘述方麵，下麵簡稱E）幾乎停止了與所有人（貝索、洛倫茲等人）的通信隻與希爾伯特(簡稱H)保持聯係。值得注意的是在此（11月）之前，對廣義相對論的探索，因為數學上的困難，仍然停留在1913年的雛形階段，幾乎沒有任何可以稱道的進展。

在這關鍵的11月，曆史再次為我們描繪了一副激動人心的畫麵，在經曆了八年的沉寂之後（從1907年起），廣義相對論的最終形式終於要浮出水麵了，讓我們伴隨愛因斯坦與希爾伯特通信，重新回顧這一驚心動魄的曆程。

11月7日，E致H 圍繞11月4日論文的證明，“在這篇文章裏我導出了引力方程，我認識到四個星期前的證明方法是錯誤的。”信中還提及索末菲(Arnold Sommerfeld)的來信，希爾伯特曾根據這封信發現了他10月論文的問題。愛因斯坦知道不僅他一個人發現了他先前工作的缺陷，也許正是這點引出了11月後續的通信。

11月12日，E致H 通報了11月論文中的一個重要假設（ ），隨信寄兩份1914年10月論文。

11月14日，H致E 很激動，談他自己“公理化解決了您的主要問題……它是普遍數學定理的一個結果，（推廣的麥克斯韋）電動力學方程作為引力方程的數學結果而出現，因此引力和電磁力根本沒有什麽區別。”邀請愛因斯坦參見這個題目的演講，演講計劃在11月16日舉行。

11月15日，E致H “您明信片上的提示給我帶來了極大的希望”，他抱歉不能參加講座。他累壞了，胃疼的厲害。索要一份希爾伯特論文的校樣。

11月18日，E致H 顯然愛因斯坦收到了希爾伯特的文章。“您給的方程組，就我所見，和我在近幾周發現並提交科學院的東西完全一致。”

11月19日，H致E 祝賀他解決近日點問題，“如果我能算得像您那麽快，那麽電子將在我的方程麵前投降，而氫原子也得坦白它為什麽不輻射”。這時，離希爾伯特提交他20日的論文隻有一天時間（這篇論文中含有正確的廣義相對論引力方程，正式發表於1916年3月31日）[派斯 2004, 上冊，p.372—373]。

關於愛因斯坦與希爾伯特通信的內容，有幾點有必要提醒讀者特別注意，11月18日愛因斯坦提交的論文中，並沒有得到廣義相對論引力方程的正確表達式，所以請不要對通信中的一些話語（無論愛因斯坦“就我所見”的一致，還是希爾伯特“在我看來”的一致）過分認真[派斯 2004,上冊, p.373]，在接下來的一部分中，我們還將詳細討論關於這幾封重要通信的內容。

1915年11月25日，愛因斯坦向柏林的普魯士科學院遞交了題為《引力的場方程》(Feldgleichung der Gravitation)的論文（正式發表於1915年12月2日的《普魯士科學院會議報告》），提出了廣義相對論引力論的完整形式，最終完成了廣義相對論的邏輯構造。