但是我說過這個問題不是很容易講清,所以隻能簡單提提,要應用的話,就不能直接拿我的話去用了,就好像光看關於哥德爾定理的科普文章,就要把這定理用到別的領域去一樣不謹慎了。
我們中學學的命題邏輯,可以被看作是零階的。一階邏輯是命題邏輯的擴充,加入了表示論域對象的性質的詞,叫謂詞。比如“雲是白的”,在命題邏輯裏你隻能把它作為原子命題,但是一階邏輯裏我們可以把“……是白的”作為一個性質,表示成P,那麽P(x)就代表“x是白的”。我們還可以引入量詞,就是倒寫的A和E,表示“任意的”,和“至少存在一個”,這樣的邏輯係統就是一階的,但是在一階係統中我們不能把量詞用在謂詞上,表達比方說“對所有的性質,……”這樣的命題,如果要表示這樣的命題,就要用二階以上的命題了。
但是一階邏輯已經足夠強大,來表示幾乎所有的數學理論了。哥德爾不完全定理就是一個對於一階係統的定理。 | |